jueves, 25 de marzo de 2010

TEMA 17: Temperatura y teoría cinética de los gases.

Contenidos:

1. Equilibrio térmico y temperatura.

- Equilibrio térmico.
- Principio cero de la termodinámica.

2. Escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit.
- Escala Celsius.
- Conversión Celsius-Fahrenheit.

3. Termómetros de gas y escala de temperaturas absolutas.
- Escala Kelvin.
- Conversión Celsius-Kelvin.

4. Ley de los gases ideales.
- Obtención de la ley de los gases ideales a partir de la ley de Boyle.
- Variables y ecuación de estado.
- Condiciones estándar.
- Masa molecular.

5. La teoría cinética de los gases.
- Modelo de gas.
- Cálculo de la presión ejercida por un gas.
- Interpretación molecular de la temperatura (Energía cinética media de traslación).
- Teorema de equipartición.
- Recorrido libre medio.

17.1 Equilibrio térmico y temperatura.

Al poner en contacto dos objetos con diferente temperatura, tienden a equilibrarse térmicamente, sufriendo una dilatación o una contracción si se calientan o enfrían respectivamente.
Cuando dichos procesos de dilatación y contracción han finalizado, ambos objetos tienen la misma temperatura, y se dice que están en equilibrio térmico.

Principio cero de la termodinámica: Si A y B están en equilibrio térmico con C, también lo están entre ellos.


17.2 Escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit.

Escala Celsius: Establece como 0ºC la temperatura de congelación normal del agua, y 100ºC la temperatura de ebullición normal del agua (o punto de ebullición normal). El resto de temperaturas se miden según esa escala y según la ecuación:


Siendo Lx la longitud de la columna de mercurio a una temperatura dada.

Escala Fahrenheit: Establece la temperatura de congelación normal del agua en 32ºF y la de ebullición normal en 212ºF.

Para convertir temperaturas de una escala a otra se utiliza la fórmula:




17.3 Termómetros de gas y escala de temperaturas absolutas.

Un termómetro de gas es un recipiente que contiene un volumen fijo de un gas determinado, en el que se mide la presión del gas en el punto del hielo (P0) y en el punto de vapor (P100) , midiendo la presión del gas (Pt) a una temperatura concreta, podemos hallar dicha temperatura con la fórmula:



La presión de estos termómetros se hace cero a una temperatura de -273,15ºC, independientemente del gas utilizado para ello, esta temperatura se conoce como el cero absoluto, no se han podido medir temperaturas inferiores a ella (para ello la presión del gas debería ser negativa, lo cual es imposible).

A partir de estas mediciones, y con el fin de obtener una escala de temperaturas coherente y siempre positiva, se elaboró la llamada escala de temperatura absoluta, mas conocida como escala Kelvin, que se traduce a Celsius con la ecuación:




17.4 Ley de los gases ideales.

Si un gas es comprimido sin variar su temperatura, la presión crece. En cambio si el gas se expande sin variar su temperatura, la presión decrece. Estos datos llevaron a Robert Boyle a enunciar la conocida ley de Boyle en el siglo XVII, que dice que a temperatura constante, el producto de la presión por el volumen de un gas, es constante.



Un siglo mas tarde, Jaques Charles y Gay-Lussac descubrieron experimentalmente que, a volumen constante, la temperatura absoluta de un gas de baja densidad es proporcional a su presión. Combinando estos resultados con la ley de Boyle obtenemos:


Siendo C una constante de proporcionalidad.

Más adelante se descubrió que combinando dos recipientes idénticos que contenían la misma cantidad de gas a misma presión y temperatura, éstas no variaban mientras el volumen del gas era el doble. Por lo tanto C equivale a una constante k (conocida como constante de Boltzmann) multiplicada por N moléculas de gas, por lo que nuestra ecuación es:



Utilizando el número de Avogadro (NA) y la cantidad de moles (n) de tal modo que N=nNA obtenemos:



Donde R=NAk es conocida como constante universal de los gases y tiene un valor de 0,08206 atm·L/(mol·K) o también de 8,314 J/(mol·K).

La ecuación PV=nRT se denomina ley de los gases ideales, y se define gas ideal como aquel para el que PV/nT es constante a todas las presiones.

La ley de los gases ideales es un ejemplo de ecuación de estado, a bajas densidades (presiones) describe las propiedades de los gases ideales, pero a densidades mas elevadas se han de aplicar correciones a la ecuación.

El estado de una cierta cantidad de gas, queda determinado por dos de las tres variables de estado P, V y T.

Siempre que se hable de las condiciones estándar o normales, se quiere expresar que la presión es de 1atm y la temperatura 273K.

Si representamos P en función de V en un gráfico a diferentes temperaturas T, las curvas que obtenemos se denominan isotermas, las de un gas ideal son hipérbolas.

Como sabemos, PV/T es constante para una cantidad determinada de gas, por lo que podemos escribir:



La masa de un mol de sustancia es la masa molar, M. La masa de n moles de gas viene dada por m=nM. La densidad de un gas ideal es:



Utilizando la ecuación de estado de los gases ideales podemos escribir:



Por lo que podemos afirmar que a una temperatura dada, la densidad de un gas ideal es proporcional a la presión.


17.5 La teoría cinética de los gases.

Un gas está formado por un gran número de partículas que se mueven aleatoriamente por el recipiente que las contiene, y que colisionan elásticamente entre sí y con las paredes del recipiente. Consideraremos la trayectoria de las partículas como rectilínea y su velocidad constante. La distancia de separación de las moléculas es enorme comparada con su diámetro y, excepto durante el choque, no ejercen ninguna fuerza entre sí.

Cálculo de la presión ejercida por un gas.
La presión que ejerce un gas sobre el recipiente que lo contiene se debe a las colisiones de las partículas del gas con las paredes del recipiente. Y tiene por fórmula:



La demostración matemática es compleja para resumirla, se puede encontrar en la página 504 del Tipler Vol.1

Interpretación molecular de la temperatura.
Comparando la fórmula anterior con PV=NkT, tenemos que:



Pero estamos hablando sólo del eje x, si queremos obtener la ecuación general para todo el recipiente, hemos de tener en cuenta que



y la energía cinética media de una molécula sería:



Por lo tanto la temperatura absoluta nos permite calcular directamente la energía cinética de translación media de las moléculas. De esta ecuación se deduce la ecuación para la energía cinética de traslación de n moles de un gas:



A partir de la ecuación para la energía cinética media de una molécula, podemos hallar la velocidad cuadrática media de dicha molécula:



Teorema de equipartición.
Pongamos como ejemplo un gas al que incrementamos la presión, su Ecm de traslación se hace mayor y ese incremento se reparte equitativamente entre las direcciones x, y, z. Esta forma de compartir la energía por igual es un caso especial del teorema de equipartición.
Cada componente de la posición y cantidad de movimiento, que aparece como un término cuadrático en la expresión de la energía del sistema se denomina grado de libertad, y están asociados a la energía cinética de traslación, rotación y vibración y a la energía potencial de vibración.

Sabiendo que la Ecm de traslación es 1/2kT por molécula (lo que equivale a decir 1/2RT por mol) y con todo lo anterior, podemos enunciar el teorema de equipartición, que dice:

Cuando una sustancia está en equilibrio, existe una energía media de 1/2kT por molécula o 1/2RT por mol asociada con cada grado de libertad.

Recorrido libre medio.
La distancia media recorrida entre colisiones por una molécula, λ, se denomina recorrido libre medio.
Esta propiedad depende del tamaño de la molécula, el tamaño de las moléculas que la rodean y la densidad del gas.
Suponemos una molécula de radio r1 que se mueve con velocidad v entre moléculas estacionarias. La molécula, al desplazarse, chocará con otra de radio r2 si la distancia entre ellas es igual o menor que d=r1+r2. En un tiempo t, recorre un espacio igual a vt, y choca con todas las moléculas contenidas en el cilindro de volumen πd2vt, que contiene nvπd2vt moléculas (nv=N/V que es el número de moléculas por unidad de volumen).
Si dividimos la longitud total recorrida, por el número de colisiones, obtenemos el recorrido libre medio:



Pero esto es en el caso ideal en el que todas las moléculas del gas menos una son estacionarias, si consideramos el movimiento de las demás moléculas obtenemos:



El tiempo de colisión, τ, es el tiempo medio entre colisiones, su inverso es aproximadamente el número medio de choques por segundo o frecuencia de colisión, sea vm la velocidad media:




No hay comentarios:

Publicar un comentario